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Journal Article

Looking for Efficient QML Estimation of Conditional VaRs at Multiple Risk Levels

Christian Francq and Jean-Michel Zakoïan
Annals of Economics and Statistics
No. 123/124, SPECIAL ISSUE ON RECENT DEVELOPMENTS IN FINANCIAL ECONOMETRICS (December 2016), pp. 9-28
Published by: GENES on behalf of ADRES
DOI: 10.15609/annaeconstat2009.123-124.0009
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/10.15609/annaeconstat2009.123-124.0009
Page Count: 20
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Looking for Efficient QML Estimation of Conditional VaRs at Multiple Risk Levels
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Abstract

We consider joint estimation of conditional Value-at-Risk (VaR) at several levels - within the framework of general GARCH-type models. The conditional VaR at level a is expressed as the product of the volatility and the opposite of the α -quantile of the innovation. A standard method is to estimate the volatility parameters by Gaussian Quasi-Maximum Likelihood (QML) in a first step, and to use the residuals for estimating the innovation's quantiles in a second step. We argue that the Gaussian QML may be inefficient with respect to more general QML and can even be in failure for heavy tailed conditional distributions. We therefore study - for a vector of risk levels - a two-step procedure based on a generalized QML. For a portfolio of VaRs at different levels, confidence intervals accounting for both market and estimation risks are deduced. An empirical study based on stock indices illustrates the theoretical results. JEL: C13, C22, C58 / KEY WORDS: Asymmetric Power GARCH, Distortion Risk Measures, Estimation Risk, Non-Gaussian Quasi-Maximum Likelihood, Value-at-Risk. RÉSUMÉ. Dans le cadre de modèles de type GARCH, nous étudions l'estimation jointe – pour plusieurs niveaux de confiance – de Valeurs-à-Risque (VaR) conditionnelles. La VaR conditionnelle au niveau α est exprimée comme produit de la volatilité et de l'opposé du α-quantile de l'innovation. Une méthode standard consiste à estimer les paramètres de volatilité par Quasi Maximum de Vraisemblance (QMV) gaussien dans une première étape, puis à utiliser les résidus pour estimer les quantiles de l'innovation dans une seconde étape. Cependant, l'estimateur du QMV gaussien peut ětre inefficace par rapport à des QMV plus généraux, voire incohérents lorsque les lois conditionnelles sont à queue épaisse. Nous étudions donc – pour un vecteur de niveaux de risque – une procédure en deux étapes basée sur un estimateur du QMV généralisé. Pour un portefeuille de VARs à différents niveaux, des intervalles de confiance asymptotiques prenant en compte le risque d'estimation sont obtenus. Une étude empirique basée sur des indices boursiers illustre les résultats théoriques.

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