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Some Problems of Optimum Allocation for Sampling on Two Occasions

G. Kulldorff
Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute
Vol. 31, No. 1 (1963), pp. 24-57
DOI: 10.2307/1401727
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/1401727
Page Count: 35
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Some Problems of Optimum Allocation for Sampling on Two Occasions
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Abstract

Supposons que l'on ait une population finie de N unités et sur ces unités un certain caractère numérique, qui peut être observé à deux époques successives. n unités sont choisies au hasard et observées à la première époque. A la seconde époque on choisit au hasard et on observe (i) n1 unités prises parmi les n unités préalablement choisies, et (ii) n2 unités prises parmi les N-n unités non préalablement choisies. Sur la base de toutes les observations faites, on peut vouloir estimer, soit (A) la moyenne μ y de la population à la seconde époque, soit (B) la moyenne μ x de la population à la première époque (en utilisant aussi les informations fournies à la seconde époque), soit (C) n'importe quelle autre fonction linéaire des deux moyennes μ x et μ y, par exemple leur moyenne ou leur différence. La meilleure estimation linéaire non biaisée de toute fonction linéaire de μ x et μ y est formulée, et on en déduit sa variance. Que l'on désire une estimation de (A), de (B) ou de (C), et que l'on veuille (a) minimiser la variance de l'estimation pour un coût total fixé, ou (b) minimiser le coût total pour une variance fixée, la solution est apportée au problème suivant: comment choisir les tailles d'échantillon n1 et n2 quand n est fixé et que le coût total est c0+c1n1+c2n2. Pour l'estimation de μ y, on a accordé une attention spéciale au cas où c1=c2, et aux cas respectifs où (a) le coût total fixé est c0+c2n, ou (b) la variance fixée de l'estimation est (1/n-1/N)σ y2. En ce qui concerne l'amélioration de l'estimation de μ x pour un coût total fixé, on compare la répartition optimum et une répartition telle qu'elle soit optimum pour l'estimation de μ y. On trouve que l'efficacité relative de cette dernière n'est jamais inférieure à 8/9 si c1≤ c2 et si le coût total est ≤ c0+2c2n. Pour l'estimation de la différence μ yx quand σ xy, le choix optimum est soit n1=n soit n2=0 si (mais pas seulement si) le coefficient de corrélation ρ > 0 et c1(1-ρ 2)≤ c2. Si le planning de l'enquête totale par sondage, couvrant les deux époques, peut être fait dans le seul but (ou tout au moins dans le but primaire) d'obtenir une bonne estimation de la fonction linéaire α μ x+β μ y, où α β ≠ 0, le problème se présente de déterminer comment les tailles d'échantillon n, n1 et n2 doivent être choisies pour que: (a) la variance de l'estimation soit minimum pour un coût total fixé, ou bien (b) le coût total soit minimum pour une variance fixée. Ce problème est résolu, dans l'hypothèse où le coût total est c0+cn+c1n1+c2n2. Il en résulte que le minimum est toujours obtenu pour des valeurs de n, n1 et n2 telles que n1=0, ou n1=n ou n2=0. On a accordé une attention particulière à l'estimation de la somme de μ x et μ y ou de leur différence. Pour l'estimation de μ yx quand σ xy, le choix de n1=n et de n2=0 est optimum si (mais pas seulement si) ρ > 0, c1≤ c2 et (1-ρ)/(1+ρ)≤ c/c2≤ (1+ρ)/(1-ρ).

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