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Markov and the Birth of Chain Dependence Theory

E. Seneta
International Statistical Review / Revue Internationale de Statistique
Vol. 64, No. 3 (Dec., 1996), pp. 255-263
DOI: 10.2307/1403785
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/1403785
Page Count: 9
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Markov and the Birth of Chain Dependence Theory
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Abstract

Markov's work on chain dependence was motivated by his desire to refute a statement by Nekrasov that pairwise independence of random summands was a necessary condition for the Weak Law of Large Numbers. He did this by obtaining such a Law in 1906 for systems of dependent random variables, in particular for finite homogeneous 'Markov' chains. Nekrasov's incorrect assertion arose out of the theological doctrine of free will, with which some members of the Moscow School of Mathematics of the time were much concerned. The first part of the paper presents the background to the above. The second part deals with the somewhat neglected techniques of Markov's 1906 paper, especially his use of what is now known as the ergodicity coefficient, to express the contractive effect of applying a stochastic matrix to a column vector. This coefficient underlies his ergodicity arguments, and his proof of the Weak Law. /// L'oeuvre de Markov sur la dépendance en chaîne eut pour motivation son désir de réfuter l'affirmation de Nekrasov que l'indépendance en paires de variables aléatoires dans une somme était une condition nécessaire de la Loi Faible des Grands Nombres. Markov acheva son résultat en obtenant une telle Loi en 1906 pour un système de variables aléatoires dépendantes, et en particulier pour des chaînes de Markov finies homogènes. L'affirmation incorrecte de Nekrasov était basée sur la doctrine théologique de libre arbitre, que certains membres de l'Ecole de Mathématiques de Moscou entretenaient à cette époque. La première partie de l'article présente l'arrière-plan de la situation. La deuxième traite des techniques plutôt négligées de l'article de Markov en 1906, et surtout de son emploi de ce qu'on a par la suite nommé le coefficient d'ergodicité. Ce coefficient exprime l'effet contractoire que l'application d'une matrice stochastique a sur un vecteur colonne; il est à la base de ses arguments d'ergodicité et de sa preuve de la Loi Faible des Grands Nombres.

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