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L'analyse non standard et la tradition de l'infini

Jean-Michel Salanskis
Revue d'histoire des sciences
Vol. 41, No. 2, Algèbre, Analyse, Topologie. Questions d'histoire et d'interprétation (AVRIL-JUIN 1988), pp. 157-207
Published by: Armand Colin
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/23632984
Page Count: 51
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L'analyse non standard et la tradition de l'infini
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Abstract

Ce texte essaie d'expliquer pourquoi le futur de l'analyse non standard est peut-être dépendant d'une transformation générale des attitudes et des buts des mathématiciens. Dans ce but, une réflexion est poursuivie au sujet des sens comparatifs du fini et de l'infini en mathématiques préformelles, formelles, et plus spécifiquement en mathématiques formelles non standard; tout ceci en adoptant l'hypothèse que ces sens sont mieux analysés en termes « éthiques ». Dans la première section, nous racontons l'histoire récente de l'analyse non standard et présentons les façons alternatives de concevoir son destin aujourd'hui. Dans la seconde section, nous rappelons le débat traditionnel accompagnant le calcul infinitésimal, et nous établissons le fait que les nouvelles perspectives apportées par l'analyse non standard ne doivent pas être rattachées à la question de la validité ou la praticabilité du calcul leibnizien, mais à la question plus générale et « philosophique » du sens de l'infinitésimal. Dans la troisième section, nous introduisons nos concepts de « registre éthique » et de « sens-lumière » opposé au « sens-emploi », sur la base desquels nous décrivons la mutation qui fait passer des mathématiques « naïves » aux mathématiques formelles. Dans la quatrième section, nous appliquons ces concepts aux notions du fini et de l'infini, et prétendons caractériser en tant que sens formels ou « sens-emploi » les sens non standard du fini et de l'infini. Nous concluons par un nouvel examen du possible futur de la méthode non standard. This text is trying to explain why the future of non standard analysis may be dependant of a general transformation of the attitudes and the goals of mathematicians. In that purpose, a reflexion is pursued about the comparative meanings of the finite and the infinite in pre-formalist mathematics, formalist mathematics, and more specifically in formalist non standard mathematics; this is done under the presupposition that these meanings are better analysed in « ethical » terms. In the first section, we tell the recent story of non standard analysis and present the alternative ways of conceiving its destiny today. In the second section, we recall the traditional debate of infinitesimal calculus and establish the fact that the new insights brought by non standard analysis must not be connected with the question of the validity or practicability of leibnizian calculus, but with the more general and « philosophical » question of the meaning of the infinitesimal. In the third section we introduce our concepts of « ethic register » and of « light-sense » opposed to « use-sense », on the base of wich we describe the mutation between « naïve » mathematics and formal ones. In the fourth section, we apply these concepts to the notions of the finite and the infinite, and pretend to characterize as formal senses or « use-senses » the non standard senses of the finite and the infinite. We conclude by a new examination of the possible future of the non standard method.

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