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Journal Article

# Exponential Models, Brownian Motion, and Independence

Vol. 16, No. 3 (Sep., 1988), pp. 209-221
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/3314728
Page Count: 13

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## Abstract

Some examples of steep, reproductive exponential models are considered. These models are shown to possess a τ-parallel foliation in the terminology of Barndorff-Nielsen and Blaesild. The independence of certain functions follows directly from the foliation. Suppose X(t) is a Wiener process with drift where X(t) = W(t) + ct, 0 ≤ t ≤ T. Furthermore let Y = max [X(s), 0 ≤ s ≤ T]. The joint density of Y and X = X(T), the end value, is studied within the framework of an exponential model, and it is shown that Y(Y - X) is independent of X. It is further shown that Y(Y - X) suitably scaled has an exponential distribution. Further examples are considered by randomizing on T. /// Dans cet article on considère quelques exemples de modèles exponentiels reproductifs, au sens de Barndorff-Nielsen et Blaesild; ce sont tous des modèles avec un feuilletage τ-parallèle, ce qui entraîne l'indépendance de certains couples de variables aléatoires. Soit X(t) = W(t) + ct, 0 ≤ t ≤ T, un processus de Wiener avec dérive ("drift"), et soit Y= sup0≤ s≤ TX(s). Alors, la densité conjointe de Y et de X = X(T) est étudiée pour le cas exponentiel. Il s'avère que X est indépendante de Y(Y - X). On montre aussi que la loi de Y(Y - X) est exponentielle après normalisation. On engendre d'autres exemples en considérant T aléatoire.

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