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The Strong Uniform Convergence of Multivariate Variable Kernel Estimates

Luc Devroye and Clark S. Penrod
The Canadian Journal of Statistics / La Revue Canadienne de Statistique
Vol. 14, No. 3 (Sep., 1986), pp. 211-219
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/3314798
Page Count: 9
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The Strong Uniform Convergence of Multivariate Variable Kernel Estimates
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Abstract

We show that supx|fn(x)-f(x)|→ 0 completely as n → ∞, where f is a uniformly continuous density on Rd, X1,...,Xn are independent random vectors with common density f, and fn is the variable kernel estimate fn(x)=1/n∑i=1 n1/Hni dK(Xi-x/Hni). Here Hni is the distance between Xi and its kth nearest neighbour, K is a given density satisfying some regularity conditions, and k is a sequence of integers with the property that k/n → 0, k/log n → ∞ as n → ∞. /// Nous démontrons que supx|fn(x)-f(x)|→ 0 complètement lorsque n → ∞, où f représente une fonction de densité uniformément continue sur Rd, X1,...,Xn sont des vecteurs aléatoires indépendants ayant f pour densité commune, et où fn dénote l'estimateur du noyau variable, à savoir fn(x)=1/n∑i=1 n1/Hni dK(Xi-x/Hni). Ici, Hni représente la distance entre Xi et son k-ième voisin le plus proche, K est une fonction de densité donnée obéissant à quelques conditions de régularité et k est une suite d'entiers telle que k/n → 0 et k/log n → ∞ quand n → ∞.

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