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The Superharmonic Condition for Simultaneous Estimation of Means in Exponential Families

L. R. Haff and R. W. Johnson
The Canadian Journal of Statistics / La Revue Canadienne de Statistique
Vol. 14, No. 1 (Mar., 1986), pp. 43-54
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/3315035
Page Count: 12
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The Superharmonic Condition for Simultaneous Estimation of Means in Exponential Families
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Abstract

The mean vector associated with several independent variates from the exponential subclass of Hudson (1978) is estimated under weighted squared error loss. In particular, the formal Bayes and "Stein-like" estimators of the mean vector are given. Conditions are also given under which these estimators dominate any of the "natural estimators". Our conditions for dominance are motivated by a result of Stein (1981), who treated the ${\ssf N}_{p}(\theta ,I)$ case with p ≥ 3. Stein showed that formal Bayes estimators dominate the usual estimator if the marginal density of the data is superharmonic. Our present exponential class generalization entails an elliptic differential inequality in some natural variables. Actually, we assume that each component of the data vector has a probability density function which satisfies a certain differential equation. While the densities of Hudson (1978) are particular solutions of this equation, other solutions are not of the exponential class if certain parameters are unknown. Our approach allows for the possibility of extending the parametric Stein-theory to useful nonexponential cases, but the problem of nuisance parameters is not treated here. /// Cet article porte sur l'estimation de la moyenne d'un vecteur de variables aléatoires indépendantes appartenant à la sous-classe exponentielle de Hudson (1978). Les estimateurs considérés minimisent une somme pondérée du carré des erreurs. L'estimateur de Bayes et un estimateur "à la Stein" sont donnés explicitement. On fournit également des conditions sous lesquelles ces estimateurs dominent les soi-disant "estimateurs naturels". Nos conditions sont motivées par une observation de Stein (1981) en rapport avec le cas d'une loi normale à p ≥ 3 dimensions. Stein a en effet démontré que dans ce cas, les estimateurs de Bayes dominent l'estimateur habituel lorsque la fonction de densité marginale des données est superharmonique. Dans notre contexte, cette condition se traduit par une inégalité différentielle elliptique exprimée en termes de certaines variables naturelles. En fait, nous supposons que chacune des composantes du vecteur de données est gouvernée par une fonction de densité qui obéit à une équation différentielle. Les lois de Hudson (1978) sont des solutions particulières de cette équation, mais d'autres solutions sont également possibles qui n'appartiennent pas nécessairement à la classe exponentielle. Notre approche permet de généraliser la théorie paramétrique de Stein à ces cas utiles, mais le problème des paramètres nuisibles n'est pas abordé.

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