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On the Asymptotic Normality of the L1- and L2-Errors in Histogram Density Estimation

Jan Beirlant, László Györfi and Gábor Lugosi
The Canadian Journal of Statistics / La Revue Canadienne de Statistique
Vol. 22, No. 3 (Sep., 1994), pp. 309-318
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/3315594
Page Count: 10
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On the Asymptotic Normality of the L1- and L2-Errors in Histogram Density Estimation
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Abstract

The L1- and L2-errors of the histogram estimate of a density f from a sample X1,X2,... ,Xn using a cubic partition are shown to be asymptotically normal without any unnecessary conditions imposed on the density f. The asymptotic variances are shown to depend on f only through the corresponding norm of f. From this follows the asymptotic null distribution of a goodness-of-fit test based on the total variation distance, introduced by Györfi and van der Meulen (1991). This note uses the idea of partial inversion for obtaining characteristic functions of conditional distributions, which goes back at least to Bartlett (1938). /// On s'intéresse aux erreurs, suivant les normes L1 et L2, inhérentes à l'estimateur de type histogramme pour une fonction de densité f, ce dernier étant obtenu à partir d'un échantillon X1,X2,... ,Xn en utilisant une partition cubique. Il est démontré que ces erreurs possèdent une distribution asymptotique gaussienne, sans avoir à imposer des conditions superflues sur la fonction de densité f. Les variances asymptotiques ne dépendent de f que par l'intermédiaire de sa norme correspondante. Ceci nous permet d'obtenir la distribution asymptotique, sous l'hypothèse nulle, d'une statistique de validité de l'adjustement fondée sur la variation totale, introduite par Györfi et van der Meulen (1991). Cet article fait appel à la notion d'inversion partielle, remontant au moins à Bartlett (1938), afin d'obtenir les fonctions caractéristiques de distributions conditionnelles.

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