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Monotonic Minimax Estimators of a 2×2 Covariance Matrix

François Perron
The Canadian Journal of Statistics / La Revue Canadienne de Statistique
Vol. 20, No. 4 (Dec., 1992), pp. 441-449
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/3315613
Page Count: 9
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Monotonic Minimax Estimators of a 2×2 Covariance Matrix
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Abstract

Let S: 2 × 2 have a nonsingular Wishart distribution with unknown matrix Σ and n degrees of freedom. For estimating Σ two families of minimax estimators, with respect to the entropy loss, are presented. These estimators are of the form $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}({\bf S})={\bf R}\boldsymbol{\Phi}({\bf L}){\bf R}^{{\rm T}}$ where R is orthogonal, L and Φ are diagonal, and RLR T= S. Conditions under which the components of Φ and L follow the same order relation [i.e., writing $\boldsymbol{\Phi}={\rm diag}(\phi _{1},\phi _{2})$ and L= diag(l1,l2) with l1≥ l2, we have φ 1≥ φ 2] are established. Comparisons with Stein's estimators and other orthogonally invariant estimators are discussed. /// Soit S une matrice carrée de dimension 2 obéissant à une loi de Wishart nonsingulière à n degrés de liberté, de matrice de variances-covariances Σ inconnue. Deux familles d'estimateurs minimax de Σ relativement à la perte d'entropíe sont présentées. Ces estimateurs s'expriment sous la forme $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}({\bf S})={\bf R}\boldsymbol{\Phi}({\bf L}){\bf R}^{{\rm T}}$ en terme d'une matrice orthogonale R et de matrices diagonales L et Φ telles que RLR T= S. Des conditions sous lesquelles les éléments de Φ et de L satisfont la même relation d'ordre sont identifiées (ces conditions font en sorte que si $\boldsymbol{\Phi}={\rm diag}(\phi _{1},\phi _{2})$ et L= diag(l1,l2), alors φ 1≥ φ 2 dès que l1≥ l2). Des comparaisons sont effectuées entre les estimateurs proposés et certains estimateurs invariants par transformations orthogonales, dont ceux de Stein.

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