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AUSSAGENLOGISCHE GRUNDEIGENSCHAFTEN FORMALER SYSTEME

Kurt Schütte
Dialectica
Vol. 12, No. 3/4 (15. 9./15. 12. 1958), pp. 422-442
Published by: Wiley
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/42964257
Page Count: 21
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AUSSAGENLOGISCHE GRUNDEIGENSCHAFTEN FORMALER SYSTEME
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Abstract

In einem typenfreien formalen System, das widerspruchsfrei ist und alle Begriffe der klassischen Mathematik darzustellen vermag, können nicht alle Gesetze der klassischen Aussagenlogik gelten. Es entsteht daher das Problem, die aussagenlogischen Eigenschaften formaler Systeme allgemein zu untersuchen. Unter gewissen Voraussetzungen in aussagenlogischer Hinsicht wird die « aussagenlogische Vollständigkeit » und die « aussagenlogische Widerspruchsfreiheit » eines formalen Systems durch das Tertium non dalur beziehungsweise durch die Schlussregel des Ex falso quodlibet charakterisiert. Es werden Entscheidungsverfahren für diejenigen syntaktischen Schlussregeln entwickelt, die unter den vorliegenden aussagenlogischen Voraussetzungen in jedem formalen System beziehungsweise in jedem aussagenlogisch vollständigen formalen System beziehungsweise in jedem aussagenlogisch widerspruchsfreien formalen System gelten. Dans un système formel sans types sans contradictions et qui peut représenter toutes les notions des mathématiques classiques, toutes les lois de la logique propositionelle classique ne peuvent pas être valables. C'est de là que s'ensuit le problème de discuter généralement les propriétés des systèmes formels en ce qu'elles concernent la logique des propositions. Sous certaines suppositions à l'égard des expressions propositionelles le « complet propositionel » et la « non-contradiction propositionelle » se caractérisent par le tertium non datur ou plutôt par la règle d'inférence du ex falso quodübet. On développe des méthodes de décision pour ces règles d'inférence syntactiques qui sont valables dans chaque système formel sous les suppositions données et pour ces règles d'inférence qui sont valables dans chaque système complet ou consistant au point de vue de la logique des propositions. In a formal system without types which contains no contradictions and is able to represent all notions of classical mathematics, all the laws of classical propositional calculus cannot be valid. From this fact ensues the problem generally to explore the properties of formal systems from the point of view of the propositional calculus. Under certain assumptions concerning the propositional expressions the « propositional completeness » and the « propositional consistency » of a formal system is characterized through the tertium non datur, respectively through the inference rule of the ex falso quodlibet. There are decision procedures for the syntactical inference rules which in every formal system are valid under the given assumptions and for the syntactical inference rules of every formal system which is complete or consistent with respect to the propositional calculus.

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