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CRITERIOS LOCAIS DE OTIMALIDADE PARA CONTROLE ESTOCASTICO DE PROCESSUS DETERMINISTICOS POR PARTES

João Bosco Ribeiro do Val and Mark H. A. Davis
Brazilian Journal of Probability and Statistics
Vol. 2, No. 2 (NOVEMBRO 1988), pp. 101-123
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/43600228
Page Count: 23
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CRITERIOS LOCAIS DE OTIMALIDADE PARA CONTROLE ESTOCASTICO DE PROCESSUS DETERMINISTICOS POR PARTES
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Abstract

Os Processos Determinísticos por Partes (PDP) formam urna classe geral de processos de Markov que nao envolve os processos de difusão. De forma genérica, o caminho que um processo nessa classe descreve, consiste em trajetórias determinísticas e continuas interrompidas aleatoriamente por saltos ou, alternativamente, por saltos na fronteira do espaço de estado. Essa classe corno tal, foi caracterizada recentemente e ela engloba certos processos estudados tradicionalmente em pesquisa operacional relacionados com filas e estoques. Além disso, eia permite formulações não convencionais adequadas a problem, as de controle de represas e a problemas de planejamento de investimento, corno por exemplo, o de expansão de capacidade instalada. Neste traballio apresentamos urna caracterização obtida para problema de controle estocástico de PDP controlados, onde um critèrio local de otimalidade é justificado sob condições não-restritivas. A análise baseia-se nas características simplificadas de um problema particular 4e controle estocastico de PDP. Técnicas de controle ótimo determinístico são trazidas a esse problema e a soluçao obtida é referenciada ao problema inicial através de argumentos de Programação Dinâmica e a identificação de um operador de envoltória inferior, relacionado com o problema mais simples. São obtidos um Princípio do Máximo e um Teorema de Verificação que estabelece condições necessáfias e suficientes de otimalidade em termos de urna versão modificada da equação de Hamilton-Jacobi-Bellman. Da análise descrita, deriva-se um criterio recursivo e convergente de otimalidade, que permite estabelecer procedimentos numéricos de busca de soluções. Piecewise Deterministic Processes (PDP) form a general class of nondiffusion Markov Processses. A path of a process in this class consists of deterministic continuous motion interrupted by random jumps or by boundary jumps. The PDP class was characterized recently and it involves many types of processes studied in operation research in conection with queues and storage processes. Moreover, the class provides a new framework for the study of problems such as dam control, investment planning, etc. In this work we present one characterization for the stochastic control problem of controlled PDP's which provides local optimality criteria under broad conditions. The analysis is based on an elementary PDP control problem which is recast as a deterministic control problem. Optimal control techniques are applied to this smaller problem and in a further stage, it is related to the general problem using a certain lower envelope operator and dynamic programming arguments. A Maximum Principle and a Verification Theorem which gives necessary and sufficient conditions of optimality in terms of a modified Hamilton-Jacobi-Bellman equation are established. A sequential criterion of optimality follows from the analysis described with a direct appeal for numerical recursive procedures for solutions.

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